En el EXANI-III, el Pensamiento matemático es un área transversal evaluada por CENEVAL: la capacidad de reconocer y emplear las matemáticas para formular y resolver problemas en contextos diversos y tomar decisiones fundamentadas. La matematización es el proceso de traducir una situación verbal o real a lenguaje matemático (variables, expresiones, ecuaciones, funciones o figuras geométricas) para modelarla y resolverla.
Al traducir al lenguaje algebraico, si el número desconocido es x, «el doble» se escribe 2x, «el triple» 3x y «la mitad» x/2. Conviene dominar planteos frecuentes:
Para resolver, la ecuación de primer grado ax+b=0 (a≠0) tiene solución única x=-b/a. La ecuación de segundo grado ax²+bx+c=0 (a≠0) se resuelve con la fórmula general x=(-b ± √(b²-4ac))/(2a); el discriminante D=b²-4ac indica la naturaleza de las raíces: D>0 dos raíces reales distintas, D=0 una raíz real doble y D<0 sin raíces reales. Los sistemas 2×2 se plantean con dos ecuaciones y dos incógnitas obtenidas del texto.
Las funciones y la variación descritas verbalmente suelen ser: proporcionalidad directa y=kx, proporcionalidad inversa y=k/x, y la recta y=mx+b, donde m es la pendiente y b la ordenada al origen; la pendiente entre (x1,y1) y (x2,y2) es m=(y2-y1)/(x2-x1).
En geometría, sostienen los problemas de perímetros, áreas y volúmenes fórmulas como el teorema de Pitágoras c²=a²+b², el área del triángulo A=(b·h)/2, el círculo con A=πr² y circunferencia C=2πr, y la distancia entre puntos d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²).
En probabilidad simple se identifican los casos favorables y los casos totales que describe el enunciado. Finalmente, toda solución exige resignificar e interpretar el resultado en contexto: verificar unidades, descartar soluciones no válidas (por ejemplo, longitudes negativas) y responder exactamente lo que pregunta el problema.
1. Si x representa un número desconocido, ¿cuál es la expresión algebraica que corresponde a la frase 'el doble de un número, disminuido en su mitad'?
'El doble' se traduce como 2x y 'su mitad' como x/2, y 'disminuido en' indica una resta en ese orden, por lo que la expresión es 2x - x/2. Invertir el orden de la resta o confundir la mitad del número con la constante 1/2 son errores comunes de traducción. (Álgebra, Aurelio Baldor (traducción del lenguaje común al algebraico))
2. ¿Cuál expresión algebraica representa correctamente la frase 'el triple de un número, menos siete'?
'El triple' se traduce 3x y 'menos siete' indica restar 7 al resultado, por lo que la expresión es 3x - 7. Invertir el orden de la resta (7-3x), cambiar el signo (3x+7) o aplicar el triple a toda la resta (3(x-7)) son traducciones incorrectas. (Álgebra, Aurelio Baldor (traducción del lenguaje común al algebraico))
3. La suma de dos números enteros consecutivos es 47. Si n representa el menor de ellos, ¿cuál es el valor de n?
Con n + (n+1) = 47 se obtiene 2n + 1 = 47, de donde n = 23; el valor 24 corresponde al número mayor (n+1), y 23.5 resulta de dividir 47 entre 2 sin considerar el término +1. (Álgebra, Aurelio Baldor (planteo de problemas: números consecutivos))
4. La suma de dos números pares consecutivos es 74. Si 2n representa el menor de ellos, ¿cuál ecuación permite encontrar n?
Dos números pares consecutivos se representan como 2n y 2n+2, por lo que la ecuación correcta es 2n + (2n+2) = 74; usar n + (n+2) omite el factor 2 que garantiza que el número sea par, y sumar 2n+4 corresponde a saltar un número par. (Álgebra, Aurelio Baldor (planteo de problemas: números pares consecutivos))
5. La suma de dos números impares consecutivos es 76. Si el menor se representa como 2n+1, ¿cuál es el número mayor?
De (2n+1) + (2n+3) = 76 se obtiene n = 18; el número menor es 2(18)+1 = 37 y el mayor es 2(18)+3 = 39. Confundir cuál de los dos se pide (37) o promediar la suma (38) son errores frecuentes. (Álgebra, Aurelio Baldor (planteo de problemas: números impares consecutivos))
6. ¿Qué expresión representa 'el 15% de una cantidad C'?
El p por ciento de C se traduce como (p/100)C; para p = 15 resulta 0.15C. Multiplicar por 15 sin dividir entre 100, o colocar mal el punto decimal (1.5C), son errores comunes al traducir porcentajes. (Álgebra, Aurelio Baldor (tanto por ciento))
7. Un artículo cuesta C pesos y una tienda aplica un descuento del 20% sobre el precio original. ¿Qué expresión representa el precio final del artículo?
El precio final es el original menos el 20%, es decir, C - 0.20C = 0.80C; la expresión 0.20C corresponde solo al monto del descuento, y 1.20C representaría un incremento en vez de una rebaja. (Álgebra, Aurelio Baldor (tanto por ciento aplicado a problemas de precios))
8. El triple de un número, disminuido en 7, es igual a 5 más el doble de ese número. ¿Cuál es el número?
Al plantear 3x - 7 = 2x + 5 y despejar, x = 12; agrupar mal como 3x - 7 = 2(x + 5) produce el distractor 17, y errores de signo al reunir los términos producen -12. (Álgebra, Aurelio Baldor (ecuaciones de primer grado: planteo y resolución))
9. En la ecuación lineal ax + b = 0, con a distinto de cero, ¿cuál es la expresión general de la solución x?
Al despejar x en ax + b = 0 se obtiene x = -b/a; omitir el signo negativo o intercambiar las posiciones de a y b son errores comunes al despejar. (Álgebra, Aurelio Baldor (ecuaciones de primer grado))
10. Una recta pasa por los puntos (1,2) y (3,8). ¿Cuál es la ecuación de la recta en la forma y = mx + b?
La pendiente es m = (8-2)/(3-1) = 3; sustituyendo el punto (1,2) en y = 3x + b se obtiene b = -1, por lo que la recta es y = 3x - 1. Usar solo la diferencia de las ordenadas (6) como pendiente, sin dividir entre la diferencia de abscisas, lleva por error a y = 6x - 1. (Geometría analítica, Charles H. Lehmann (pendiente de una recta; forma pendiente-ordenada al origen))
11. En la ecuación cuadrática 2x² - 3x + 5 = 0, sin resolverla, ¿qué indica el valor de su discriminante respecto a la naturaleza de las raíces?
D = b² - 4ac = (-3)² - 4(2)(5) = 9 - 40 = -31, que es negativo, por lo que la ecuación no tiene raíces reales; sumar en vez de restar el término 4ac (D=49) o calcular solo b² (D=9) son errores aritméticos comunes al aplicar la fórmula del discriminante. (Álgebra, Aurelio Baldor (discriminante y naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática))
12. La cantidad de tela y (en metros) necesaria para confeccionar manteles es directamente proporcional al número de manteles x. Si se requieren 12 metros de tela para 4 manteles, ¿qué expresión modela esta relación y cuántos metros se necesitan para 10 manteles?
Como y es directamente proporcional a x, la constante es k = 12/4 = 3 y el modelo es y = 3x; para x = 10, y = 30 metros. Invertir la razón (x/3), confundirla con una proporcionalidad inversa (12/x) o usar una diferencia aditiva en vez de multiplicativa (x+8) son errores comunes. (Álgebra, Aurelio Baldor (proporcionalidad: variación directa))
13. El tiempo t que tarda un grupo de trabajadores en terminar una obra es inversamente proporcional al número de trabajadores n asignados. Si 6 trabajadores terminan la obra en 8 días, ¿cuántos días tardarían 4 trabajadores, suponiendo el mismo rendimiento?
Como t y n son inversamente proporcionales, la constante es k = n·t = 6×8 = 48; para n = 4, t = 48/4 = 12 días. Calcular t = 8×(4/6) = 5.33 corresponde a tratar la relación como directamente proporcional, y 10 días surge de sumar la diferencia de trabajadores al tiempo original en vez de aplicar la proporcionalidad inversa. (Álgebra, Aurelio Baldor (proporcionalidad: variación inversa))
14. Sea x un número desconocido. ¿Cuál de las siguientes traducciones al lenguaje algebraico es INCORRECTA?
'El doble de la suma de un número y 5' exige multiplicar el doble por toda la suma, es decir, 2(x+5); por ello 2x + 5 es una traducción incorrecta. Las otras tres frases sí corresponden a su traducción, pues su estructura no obliga a agrupar términos con paréntesis. (Álgebra, Aurelio Baldor (traducción del lenguaje común al algebraico: uso de paréntesis en frases compuestas))
15. ¿Cuál es la fórmula para calcular el área A de un triángulo cuya base mide b y cuya altura mide h?
El área de un triángulo es la mitad del producto de su base por su altura, A = (b·h)/2; omitir la división entre 2 (A=b·h) da el área de un paralelogramo, y sumar en vez de multiplicar (A=b+h) no corresponde a ningún área válida. (Geometría y trigonometría, Aurelio Baldor (áreas de figuras planas))
16. Un triángulo tiene una base de 8 cm y una altura de 5 cm. ¿Cuál es su área?
A = (8×5)/2 = 20 cm²; olvidar la división entre 2 da 40 cm², y sumar la base con la altura (13 cm) confunde el área con otra operación. (Geometría y trigonometría, Aurelio Baldor (áreas de figuras planas))
17. Un jardín rectangular tiene un largo que es el doble de su ancho. Si el perímetro del jardín es de 60 metros, ¿cuál es el ancho del jardín?
Con largo = 2×ancho, el perímetro es 2(2w+w) = 6w = 60, por lo que w = 10 m; el valor 20 m corresponde al largo, no al ancho, y dividir 60 entre 4 (15 m) supondría un jardín cuadrado. (Geometría y trigonometría, Aurelio Baldor (perímetro de polígonos: rectángulo))
18. Una pista circular tiene un radio de 14 metros. Usando π≈3.14, ¿cuál es la longitud aproximada de la circunferencia de la pista?
C = 2πr = 2(3.14)(14) = 87.92 m; omitir el factor 2 da 43.96 m, y aplicar por error la fórmula del área (πr²) da 615.44. (Geometría y trigonometría, Aurelio Baldor (círculo y circunferencia))
19. ¿Cuál es la fórmula para calcular el área A de un círculo de radio r?
El área del círculo es A = πr²; la expresión 2πr corresponde a la longitud de la circunferencia, no al área, y πd tampoco representa un área. (Geometría y trigonometría, Aurelio Baldor (círculo y circunferencia))
20. La circunferencia de una mesa circular mide 31.4 cm. Usando π≈3.14, ¿cuál es el área aproximada de la mesa?
Del dato C = 2πr se obtiene r = 31.4/(2×3.14) = 5 cm, y el área es A = πr² = 3.14×25 = 78.5 cm²; duplicar por error (157 cm²) o suponer que el área equivale a la circunferencia sin recalcular (31.4 cm²) son errores comunes al mezclar ambas fórmulas. (Geometría y trigonometría, Aurelio Baldor (círculo: relación entre circunferencia y área))
21. En un triángulo rectángulo con catetos a y b, y con hipotenusa c, ¿cuál es la relación que expresa el teorema de Pitágoras?
El teorema de Pitágoras establece que c² = a² + b², donde c es la hipotenusa; colocar la hipotenusa del lado derecho de la igualdad (a²=b²+c²) invierte incorrectamente los papeles de los lados. (Euclides, Elementos, Libro I, Proposición 47; Geometría y trigonometría, Aurelio Baldor)
22. Un triángulo rectángulo tiene catetos de 6 cm y 8 cm. ¿Cuánto mide su hipotenusa?
c = √(6²+8²) = √100 = 10 cm; sumar directamente los catetos (14 cm) ignora el teorema de Pitágoras, y multiplicarlos (48) corresponde al doble del área del triángulo, no a la hipotenusa. (Geometría y trigonometría, Aurelio Baldor (teorema de Pitágoras))
23. Una escalera de 13 metros se apoya contra una pared vertical. La base de la escalera está a 5 metros de la pared. ¿A qué altura de la pared llega la parte superior de la escalera?
La altura es el otro cateto: √(13² - 5²) = √144 = 12 m; sumar directamente 13+5=18 o restar 13-5=8 ignora que la relación entre los lados es cuadrática, no lineal. (Geometría y trigonometría, Aurelio Baldor (aplicaciones del teorema de Pitágoras))
24. ¿Cuál es la fórmula para calcular la distancia d entre dos puntos (x1,y1) y (x2,y2) en el plano cartesiano?
La distancia entre dos puntos se obtiene con d = √((x2-x1)² + (y2-y1)²), una aplicación directa del teorema de Pitágoras en el plano cartesiano; omitir los cuadrados o la raíz cuadrada final son errores conceptuales comunes. (Geometría analítica, Charles H. Lehmann (distancia entre dos puntos))
25. ¿Cuál es la distancia entre los puntos (1,2) y (4,6) en el plano cartesiano?
d = √((4-1)² + (6-2)²) = √(9+16) = √25 = 5; sumar las diferencias sin elevar al cuadrado (3+4=7) u olvidar la raíz cuadrada final (25) son errores frecuentes al aplicar la fórmula. (Geometría analítica, Charles H. Lehmann (distancia entre dos puntos))
26. Una caja de almacenamiento tiene forma de prisma rectangular con 40 cm de largo, 25 cm de ancho y 20 cm de alto. ¿Cuál es su volumen?
El volumen de un prisma rectangular es largo × ancho × alto = 40×25×20 = 20 000 cm³; sumar las tres dimensiones (85 cm) confunde el volumen con un perímetro, y usar solo la mitad de la altura da 10 000 cm³. (Geometría y trigonometría, Aurelio Baldor (volumen de prismas rectangulares))
27. Un tinaco cilíndrico tiene un radio interior de 0.5 metros y una altura de 2 metros. Usando π≈3.14, ¿cuál es su capacidad aproximada en metros cúbicos?
El volumen del cilindro es V = πr²h = 3.14×(0.5)²×2 = 1.57 m³; usar el diámetro en lugar del radio (0.5→1) da 6.28 m³, y omitir la altura da 0.785 m³. (Geometría y trigonometría, Aurelio Baldor (volumen de cuerpos redondos: cilindro))
28. Si x representa un número desconocido, ¿qué expresión algebraica corresponde a la frase 'el doble de un número, aumentado en tres unidades'?
'El doble' se traduce como 2x y 'aumentado en tres' se representa sumando 3, por lo que la expresión correcta es 2x + 3; la opción 2(x+3) agrupa erróneamente la suma dentro del paréntesis. (Álgebra, Aurelio Baldor — traducción del lenguaje común al algebraico (2x))
29. Un número desconocido se representa con la letra n. ¿Qué expresión algebraica corresponde a 'la mitad de dicho número, disminuida en cinco unidades'?
'La mitad' se traduce como n/2 y 'disminuida en cinco' indica restar 5 después, por lo que la expresión es n/2 - 5; n - 5/2 divide solamente al 5, error frecuente de agrupación. (Álgebra, Aurelio Baldor — traducción del lenguaje común al algebraico (x/2))
30. La suma de dos números enteros consecutivos es 47. Si n representa al menor de ellos, ¿cuál ecuación permite encontrar su valor?
Los consecutivos son n y n+1, cuya suma es n+(n+1)=2n+1; igualando a 47 se obtiene 2n+1=47, mientras que 2n=47 omite el término independiente. (Álgebra, Aurelio Baldor — planteo de problemas: n+(n+1)=2n+1)
31. Dos números pares consecutivos suman 50. Si 2n representa al menor de ellos, ¿cuál ecuación modela correctamente esta situación?
Los pares consecutivos son 2n y 2n+2; su suma es 2n+(2n+2)=4n+2, que igualada a 50 da la ecuación correcta; 2n+2=50 representa solo al segundo número. (Álgebra, Aurelio Baldor — planteo de problemas: 2n y 2n+2)
32. Una tienda ofrece un descuento del p por ciento sobre el precio marcado C de un artículo. ¿Qué expresión algebraica representa el monto del descuento en pesos?
El p por ciento de C se traduce como (p/100)·C; invertir la razón, como en (100/p)·C, es un error típico al plantear el tanto por ciento. (Álgebra, Aurelio Baldor — tanto por ciento: (p/100)·C)
33. En una librería, un libro tiene precio marcado C. Durante una promoción se aplica un descuento del 15% y, sobre el precio ya descontado, se agrega un impuesto del 8%. ¿Qué expresión algebraica representa el precio final que paga el cliente?
Aplicar los porcentajes de forma sucesiva da C(0.85)(1.08)=0.918C; sumar los porcentajes directamente (0.93C) ignora que el impuesto se calcula sobre el precio ya descontado. (Álgebra, Aurelio Baldor — tanto por ciento aplicado sucesivamente)
34. ¿Qué valor de x satisface la ecuación de primer grado 3x - 12 = 0?
Con a=3 y b=-12 en x=-b/a se obtiene x=-(-12)/3=4; el resultado -4 corresponde a un error de signo al aplicar la fórmula. (Álgebra, Aurelio Baldor — ecuaciones de primer grado, x=-b/a)
35. En la ecuación lineal ax + b = 0, ¿bajo qué condición existe una solución única para la incógnita x?
La fórmula x=-b/a solo está definida cuando a es distinto de cero; si a=0 la ecuación no tiene solución única (o no existe, o es indeterminada). (Álgebra, Aurelio Baldor — ecuaciones de primer grado, x=-b/a)