🔢 Pensamiento matemático: comprensión de lo matemático

1. De acuerdo con la jerarquía de operaciones aritméticas, al resolver una expresión que contiene paréntesis, potencias, multiplicaciones y sumas, sin agrupaciones adicionales, ¿en qué orden deben efectuarse las operaciones?

1. Primero los paréntesis, después las potencias, luego las multiplicaciones y divisiones, y al final las sumas y restas.
2. Primero las sumas y restas, después las multiplicaciones y divisiones, luego las potencias y al final los paréntesis.
3. Primero las multiplicaciones y divisiones, después los paréntesis, luego las potencias y al final las sumas y restas.
4. Primero las potencias, después las sumas y restas, luego los paréntesis y al final las multiplicaciones y divisiones.

La jerarquía de operaciones establece resolver primero las agrupaciones (paréntesis), después potencias y raíces, luego multiplicaciones y divisiones, y finalmente sumas y restas; invertir este orden produce resultados incorrectos, como en las demás opciones. (Baldor, A., Aritmética (jerarquía de las operaciones).)

2. ¿Cuál es el resultado de la expresión 4 + 3 × 5, aplicando correctamente la jerarquía de operaciones?

1. 35
2. 19
3. 32
4. 12

Como la multiplicación tiene mayor jerarquía que la suma, primero se calcula 3×5=15 y después se suma 4, obteniendo 19; sumar primero 4+3 y multiplicar por 5 (35) ignora la jerarquía de operaciones. (Baldor, A., Aritmética (jerarquía de las operaciones).)

3. Al resolver la expresión 2 + 3² × 4, respetando la jerarquía de operaciones aritméticas, ¿cuál es el resultado correcto?

1. 100
2. 44
3. 38
4. 26

La potencia se resuelve antes que la multiplicación y la suma: 3²=9, 9×4=36, y 2+36=38; sumar 2+3 antes de elevar al cuadrado (100) invierte incorrectamente el orden de las operaciones. (Baldor, A., Aritmética (jerarquía de las operaciones: potencias y multiplicación).)

4. ¿Cuál de las siguientes proposiciones describe correctamente la propiedad conmutativa de la suma?

1. Multiplicar una suma por un número equivale a multiplicar cada sumando por ese número y sumar los productos.
2. Todo número sumado con el cero da como resultado el mismo número.
3. La forma en que se agrupan los sumandos no altera el resultado de la suma.
4. El orden de los sumandos no altera el resultado de la suma.

La propiedad conmutativa establece que el orden de los sumandos no altera la suma (a+b=b+a); las otras opciones corresponden a las propiedades distributiva, de elemento neutro y asociativa, respectivamente. (Baldor, A., Aritmética (propiedad conmutativa de la suma).)

5. En la igualdad (5 + 8) + 2 = 5 + (8 + 2), ¿qué propiedad de la suma se ilustra?

1. Propiedad asociativa
2. Propiedad conmutativa
3. Propiedad distributiva
4. Elemento neutro

Cambiar la forma de agrupar los sumandos sin alterar el resultado es precisamente la propiedad asociativa de la suma, distinta de la conmutativa, que se refiere al orden de los sumandos. (Baldor, A., Aritmética (propiedad asociativa de la suma).)

6. De acuerdo con la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma, ¿cuál de las siguientes expresiones es equivalente a 6 × (10 + 3)?

1. (6 + 10) × (6 + 3)
2. (6 × 10) + (6 × 3)
3. (6 × 10) + 3
4. 6 + (10 × 3)

La propiedad distributiva indica que 6×(10+3) = (6×10)+(6×3) = 78; la opción que suma 3 sin multiplicarlo por 6 omite distribuir el factor a ambos términos. (Baldor, A., Aritmética (propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma).)

7. Un comerciante compra 3 cajas con 12 artículos cada una, a un precio de $8 por artículo, y además paga $50 fijos por concepto de flete. El costo total, en pesos, se calcula mediante la expresión 3 × 12 × 8 + 50, respetando la jerarquía de operaciones. ¿Cuál es el costo total de la compra?

1. $94
2. $2,088
3. $338
4. $149

Respetando la jerarquía de operaciones, primero se efectúan las multiplicaciones (3×12×8=288) y después se suma el flete fijo (288+50=338); agrupar 8+50 antes de multiplicar ($2,088) altera indebidamente el orden de las operaciones. (Baldor, A., Aritmética (jerarquía de las operaciones, problemas de aplicación).)

8. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe correctamente al elemento neutro de la multiplicación en el conjunto de los números reales?

1. Es el número 0, porque al multiplicar cualquier número por él se obtiene el mismo número.
2. Es el número -1, porque al multiplicar cualquier número por él se obtiene su opuesto.
3. Es el recíproco de cada número, porque al multiplicarlo por él se obtiene 1.
4. Es el número 1, porque al multiplicar cualquier número por él se obtiene el mismo número.

El elemento neutro de la multiplicación es 1, pues todo número real multiplicado por 1 da como resultado el mismo número; el 0 es el neutro de la suma, no de la multiplicación. (Baldor, A., Aritmética (elemento neutro de la multiplicación).)

9. ¿Cuál es el inverso multiplicativo (recíproco) del número 5?

1. 1/5
2. 5
3. -5
4. 0

El inverso multiplicativo de un número a es 1/a, ya que a × (1/a) = 1; -5 corresponde al inverso aditivo (opuesto) de 5, no al multiplicativo. (Baldor, A., Aritmética (elemento inverso multiplicativo).)

10. De las siguientes operaciones, ¿cuál NO ilustra la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma?

1. 4 × (2 + 7) = 4×2 + 4×7
2. (3 + 4) + 2 = 3 + (4 + 2)
3. 9 × (5 + 1) = 9×5 + 9×1
4. 6 × (3 + 8) = 6×3 + 6×8

La igualdad (3+4)+2 = 3+(4+2) ilustra la propiedad asociativa de la suma, no la distributiva, ya que no interviene ninguna multiplicación sobre una suma. (Baldor, A., Aritmética (propiedades asociativa y distributiva).)

11. Cuando una expresión aritmética contiene únicamente multiplicaciones y divisiones en el mismo nivel jerárquico, sin paréntesis, ¿en qué orden deben resolverse?

1. Primero todas las divisiones y después todas las multiplicaciones
2. De derecha a izquierda, en el orden en que aparecen
3. De izquierda a derecha, en el orden en que aparecen
4. Primero todas las multiplicaciones y después todas las divisiones

Cuando dos operaciones tienen la misma jerarquía, como la multiplicación y la división, se resuelven en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha, y no en bloques separados por tipo de operación. (Baldor, A., Aritmética (jerarquía de las operaciones de igual nivel).)

12. Al calcular la expresión 20 − 8 ÷ 4 + 2, respetando la jerarquía de operaciones aritméticas, ¿cuál es el resultado correcto?

1. 16
2. 5
3. 14
4. 20

Primero se resuelve la división (8÷4=2), y después las sumas y restas de izquierda a derecha: 20−2+2=20; omitir la división (opción 14) es un error común de saltarse un paso de la jerarquía. (Baldor, A., Aritmética (jerarquía de las operaciones).)

13. Dos magnitudes x y y son directamente proporcionales entre sí. De acuerdo con la definición de proporcionalidad directa, ¿qué relación debe cumplirse entre sus valores correspondientes?

1. La diferencia y − x debe ser constante para todos los pares de valores
2. El cociente y/x debe ser constante para todos los pares de valores
3. El producto x·y debe ser constante para todos los pares de valores
4. La suma x + y debe ser constante para todos los pares de valores

En la proporcionalidad directa, el cociente entre los valores correspondientes de las dos magnitudes es constante (k=y/x); el producto constante corresponde, en cambio, a la proporcionalidad inversa. (Baldor, A., Aritmética (razones y proporciones).)

14. Un tinaco se llena mediante llaves de agua idénticas, cada una con el mismo caudal. Al abrir más llaves simultáneamente, el tiempo necesario para llenar el tinaco disminuye, de tal forma que el producto entre el número de llaves abiertas y el tiempo de llenado permanece constante. ¿Qué tipo de relación existe entre el número de llaves abiertas y el tiempo de llenado?

1. Proporcionalidad directa
2. Razón geométrica constante
3. Proporcionalidad inversa
4. Variación porcentual constante

Al aumentar el número de llaves disminuye el tiempo de llenado, manteniendo constante su producto, lo cual define la proporcionalidad inversa (x·y=k), a diferencia de la proporcionalidad directa. (Baldor, A., Aritmética (proporcionalidad inversa).)

15. Si 5 obreros, trabajando al mismo ritmo, tardan 12 días en construir un muro, ¿cuántos días tardarían 3 obreros en construir el mismo muro, si el número de obreros y el tiempo de construcción son magnitudes inversamente proporcionales?

1. 7.2 días
2. 4 días
3. 15 días
4. 20 días

Como obreros y días son inversamente proporcionales, 5×12=3×x, de donde x=20 días; aplicar una regla de tres directa en vez de invertir la relación lleva erróneamente a 7.2 días. (Baldor, A., Aritmética (regla de tres simple / proporcionalidad inversa).)

16. ¿A cuánto equivale el 15% de 240?

1. 36
2. 24
3. 15
4. 3.6

El 15% de 240 se calcula como (15/100)×240=36; confundir el 10% de 240 (24) con el 15% es un error común al estimar porcentajes. (Baldor, A., Aritmética (tanto por ciento).)

17. El precio de un artículo aumentó de $80 a $92. De acuerdo con la fórmula de variación porcentual, ¿cuál fue el porcentaje de aumento respecto al precio inicial?

1. 13%
2. 15%
3. 115%
4. 12%

La variación porcentual es ((92−80)/80)×100=15%; usar el valor final (92) como denominador en vez del valor inicial (80) produce el resultado incorrecto de 13%. (Baldor, A., Aritmética (aumentos y descuentos porcentuales).)

18. La razón geométrica de 8 a 12 se expresa como 8:12. ¿A qué fracción, ya simplificada, equivale esta razón?

1. 3/5
2. 3/2
3. 2/3
4. 2/5

La razón 8:12 equivale a la fracción 8/12, que simplificada es 2/3; invertir el orden de los términos (12/8=3/2) es un error frecuente al leer una razón. (Baldor, A., Aritmética (razón geométrica).)

19. Los ingresos semanales (en pesos) de un pequeño negocio durante 5 semanas fueron: 3,000, 3,200, 2,800, 3,400 y 4,100. ¿Cuál es el ingreso promedio (media aritmética) semanal?

1. $16,500
2. $4,100
3. $3,200
4. $3,300

La media aritmética es la suma de los datos entre el número de datos: 16,500/5=3,300; reportar la suma sin dividir entre n ($16,500) omite el último paso del cálculo del promedio. (Spiegel, M., Estadística (Serie Schaum), medidas de tendencia central.)

20. Un profesor registró las calificaciones (sobre 10 puntos) obtenidas por 6 estudiantes de posgrado en un examen diagnóstico: 7, 9, 6, 8, 10, 7. ¿Cuál es la mediana de este conjunto de datos?

1. 7.5
2. 8
3. 7
4. 7.83

Con 6 datos (número par), la mediana es el promedio de los dos valores centrales del conjunto ordenado (6,7,7,8,9,10): (7+8)/2=7.5; tomar solo uno de los dos valores centrales es un error común cuando n es par. (Spiegel, M., Estadística (Serie Schaum), la mediana.)

21. En una encuesta aplicada a 10 familias se registró el número de hijos de cada una: 2, 1, 3, 2, 2, 4, 1, 2, 3, 2. ¿Cuál es la moda de este conjunto de datos?

1. 2.2
2. 2
3. 5
4. 1

La moda es el dato con mayor frecuencia; el valor 2 aparece cinco veces, más que cualquier otro; reportar la frecuencia misma (5) en lugar del valor modal es una confusión frecuente entre ambos conceptos. (Spiegel, M., Estadística (Serie Schaum), la moda.)

22. De las siguientes medidas estadísticas, ¿cuál NO es una medida de tendencia central, sino una medida de dispersión?

1. Media aritmética
2. Moda
3. Rango
4. Mediana

La media, la mediana y la moda son medidas de tendencia central; el rango, al ser la diferencia entre el valor máximo y el mínimo, es una medida de dispersión, no de tendencia central. (Spiegel, M., Estadística (Serie Schaum), medidas de tendencia central y de dispersión.)

23. En un grupo de 40 estudiantes de posgrado, 16 cursan la modalidad presencial, 10 la modalidad en línea y el resto cursa la modalidad mixta. ¿Cuál es la frecuencia relativa de los estudiantes que cursan la modalidad mixta?

1. 0.40
2. 0.25
3. 14
4. 0.35

Los estudiantes en modalidad mixta son 40−16−10=14, y su frecuencia relativa es 14/40=0.35; confundir esta frecuencia con la de otra categoría, como la presencial (16/40=0.40), es un error común al leer datos agrupados. (Spiegel, M., Estadística (Serie Schaum), distribuciones de frecuencia.)

24. En una urna hay 5 bolas rojas, 3 azules y 2 verdes, todas del mismo tamaño y peso. Si se extrae una bola al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea azul?

1. 3/10
2. 3/7
3. 1/2
4. 1/3

Por la definición clásica de probabilidad, P(azul)=casos favorables/casos posibles=3/10; comparar las bolas azules solo contra las no azules (3/7) en vez de contra el total es un error frecuente. (Spiegel, M., Probabilidad y estadística (Serie Schaum), definición clásica de probabilidad.)

25. En un plano arquitectónico dibujado a escala 1:150, la distancia entre dos muros medida directamente en el plano es de 8 centímetros. ¿Cuál es la distancia real entre esos muros?

1. 1,200 m
2. 12 m
3. 120 m
4. 0.053 m

En una escala 1:150, la distancia real se obtiene multiplicando la distancia del plano por 150: 8 cm×150=1,200 cm=12 m; dividir en vez de multiplicar (0.053 m) invierte incorrectamente la razón de escala. (Baldor, A., Aritmética (escalas y proporciones).)

26. En una encuesta aplicada a 180 aspirantes a posgrado, 45 señalaron que su principal motivación para estudiar un posgrado es mejorar su situación laboral. Si esta información se representa mediante una gráfica de sectores (pastel), ¿cuál es la medida del ángulo central que corresponde a esta categoría?

1. 270°
2. 90°
3. 45°
4. 25°

El ángulo de cada sector es proporcional a su frecuencia relativa: (45/180)×360°=90°; usar el número de aspirantes directamente como grados (45°) omite el paso de calcular la frecuencia relativa. (Spiegel, M., Estadística (Serie Schaum), representaciones gráficas.)

27. Un fondo de ahorro para estudios de posgrado invierte un capital de $50,000 a una tasa de interés simple anual del 6%, durante 3 años. ¿Cuál es el monto total acumulado (capital más interés) al final de los 3 años?

1. $9,000
2. $950,000
3. $53,000
4. $59,000

El interés simple es I=C·i·t=50,000×0.06×3=9,000, y el monto es capital más interés: 50,000+9,000=59,000; no convertir el 6% a su forma decimal (0.06) antes de multiplicar produce un resultado absurdamente alto. (Baldor, A., Aritmética (interés simple).)

28. Una pequeña empresa registró una pérdida de $18,000 en el mes de enero y una ganancia de $25,000 en el mes de febrero. Considerando ambos meses en conjunto, ¿cuál fue el resultado financiero neto de la empresa?

1. Una ganancia neta de $7,000.
2. Una ganancia neta de $43,000.
3. Una pérdida neta de $7,000.
4. Una pérdida neta de $18,000.

El resultado neto se obtiene sumando algebraicamente −18,000 + 25,000 = 7,000, es decir, una ganancia neta; sumar ambos montos como positivos (43,000) ignora el signo de la pérdida. (Baldor, A., Aritmética (operaciones con números enteros); CENEVAL, Guía del sustentante EXANI-III (sentido numérico))

29. Un estudiante tiene una deuda de $450 con un compañero. Si le paga $120, ¿a cuánto se reduce su deuda?

1. La nueva deuda es de $570.
2. La nueva deuda es de $330.
3. La nueva deuda es de $120.
4. La nueva deuda es de $450.

La nueva deuda resulta de restar el pago realizado a la deuda original: 450 − 120 = 330; el distractor de $570 surge de sumar en lugar de restar. (Baldor, A., Aritmética (operaciones con números enteros); CENEVAL, Guía del sustentante EXANI-III (sentido numérico))

30. La temperatura registrada en una ciudad a las 6:00 a.m. fue de −8 °C. Hacia el mediodía, la temperatura subió 15 °C respecto a ese valor. ¿Cuál fue la temperatura al mediodía?

1. -7 °C
2. 23 °C
3. 7 °C
4. -23 °C

Al sumar algebraicamente −8 °C + 15 °C se obtiene 7 °C; el distractor de 23 °C surge de sumar los valores absolutos sin considerar que la temperatura inicial era negativa. (Baldor, A., Aritmética (operaciones con números enteros); CENEVAL, Guía del sustentante EXANI-III (sentido numérico))

31. ¿Cuál de las siguientes opciones describe correctamente el valor absoluto de un número entero?

1. El resultado de cambiar el signo del número, sea cual sea su signo original.
2. La mitad del valor numérico del número en la recta numérica.
3. El número entero consecutivo inmediatamente mayor en la recta numérica.
4. La distancia de ese número al cero en la recta numérica, que nunca es negativa.

El valor absoluto es, por definición, la distancia de un número a cero en la recta numérica y por ello nunca es negativo; confundirlo con el cambio de signo del número es un error común. (Baldor, A., Aritmética (valor absoluto de un número entero))

32. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre los números enteros NO es correcta?

1. El producto de dos números enteros negativos siempre da como resultado un número negativo.
2. El conjunto de los números enteros incluye a los números naturales, sus opuestos negativos y el cero.
3. La suma de dos números enteros negativos siempre da como resultado un número negativo.
4. Todo número entero tiene un opuesto (simétrico) cuya suma con él es igual a cero.

El producto de dos enteros negativos siempre es positivo (ley de los signos de la multiplicación), por lo que esa afirmación es falsa; las demás describen correctamente el conjunto de los enteros, la suma de negativos y la existencia del opuesto. (Baldor, A., Aritmética (leyes de los signos en la suma y la multiplicación de números enteros))

33. ¿Cuál de las siguientes fracciones es equivalente a 3/4?

1. 6/9
2. 9/12
3. 4/3
4. 9/16

9/12 se simplifica a 3/4, por lo que es equivalente; 6/9 equivale a 2/3 y 4/3 es la fracción recíproca (invertida), un error frecuente al buscar equivalencias. (Baldor, A., Aritmética (fracciones equivalentes))

34. ¿Cuál es el resultado de sumar las fracciones 1/3 y 1/4?

1. 2/7
2. 1/12
3. 7/12
4. 4/7

Con común denominador 12, 1/3 = 4/12 y 1/4 = 3/12, cuya suma es 7/12; el distractor 2/7 surge del error de sumar numeradores y denominadores por separado. (Baldor, A., Aritmética (suma de fracciones con distinto denominador))

35. De una pizza completa, Ana comió 1/4 y Beto comió 3/8. ¿Qué fracción de la pizza comieron entre los dos?

1. 4/12
2. 1/2
3. 3/32
4. 5/8

Con común denominador 8, 1/4 = 2/8, que sumado a 3/8 da 5/8; el distractor 4/12 proviene de sumar numeradores y denominadores por separado en vez de encontrar un común denominador. (Baldor, A., Aritmética (suma de fracciones con distinto denominador))